1.บอกได้ว่าความสัมพันธ์ที่กำหนดให้เป็นฟังก์ชันหรือไม่

2. บอกได้ว่ากราฟที่กำหนดให้ เป็นกราฟของฟังก์ชันหรือไม่

3. บอกโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชันที่กำหนดให้ได้

4. หาค่าฟังก์ชันที่ x ที่กำหนดให้

5. บอกความหมายของคำว่า "ฟังก์ชันจาก A ไป B " "ฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B" และ

"ฟังก์ชัน 1-1"

6. บอกได้ว่าความสัมพันธ์ที่กำหนดให้เป็นฟังก์ชัน 1-1 หรือไม่

7. บอกได้ว่ากราฟที่กำหนดให้เป็นกราฟของฟังก์ชัน 1-1 หรือไม่

8. บอกความหมายของฟังก์ชันเพิ่ม ฟังก์ชันลด

9. บอกได้ว่าฟังก์ชันที่กำหนดให้ฟังก์ชันใดเป็นฟังก์ชันเพิ่ม ฟังก์ชันใดเป็นฟังก์ชันลด

ความหมายของฟังก์ชัน จากความรู้เรื่องความสัมพันธ์ที่เรียนมาแล้ว พิจารณาความสัมพันธ์ต่อไปนี้

1. กำหนดให้

r1 = { (0,1), (1,2), (2,3), (1,1), (0,4) }

r2 = { (0,3), (1,1), (2,1), (3,4) }

ถ้าต้องการแสดงว่าสมาชิกใดของโดเมนมีความสัมพันธ์กับสมาชิกใดของเรนจ์อาจจะใช้วิธี

เขียนลูกศรโยงเรียกว่าการจับคู่ เช่นจากความสัมพันธ์ r1 และ r2เขียนแผนภาพแสดงการจับคู่ได

้ดังนี้

การจับคู่ระหว่างสมาชิกในโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ r1 และ r2 มีข้อแตกต่างกันคือ

   ใน r1 มีคู่อันดับที่สมาชิกตัวหน้าเหมือนกัน แต่สมาชิกตัวหลังต่างกัน คือ (0,1) กับ (0,4) และ

(1,1) กับ (1,2) ส่วนใน r2 สมาชิกตัวหน้าของแต่ละคู่อันดับไม่เหมือนกันเลย นั่นคือแต่ละสมาชิก

ในโดเมนของ r2 จะจับคู่กับสมาชิกในเรนจ์ของ r2 เพียงตัวเดียวเท่านั้น

ความสัมพันธ์ที่มีลักษณะดังใน (1), (2) และความสัมพันธ์ r2 ใน (3) เรียกว่า ฟังก์ชัน

จากบทนิยามกล่าวได้ว่า ฟังก์ชัน f คือ ความสัมพันธ์ ซึ่งถ้ามี (x,y) f และ (x,z) f แล้ว y = z

ความสัมพันธ์ที่เขียนแบบแจกแจงสมาชิกนั้น ถ้าสมาชิกตัวหน้าของแต่ละคู่อันดับไม่เหมือน

กันเลย สรุปได้ว่าความสัมพันธ์นั้นเป็นฟังก์ชัน การพิจารณาว่าความสัมพันธ์ r ซึ่งเขียนแบบบอกเงื่อนไข

เป็นฟังก์ชันหรือไม่อาจใช้วิธีการดังนี้

ตัวอย่างที่ 1 จงแสดงว่า

f = { (x,y) | y = x2 + 1} เป็นฟังก์ชัน

ตัวอย่างที่ 2 จงแสดงว่า f= {(x,y) | y = x2+1 } เป็นฟังก์ชัน

ตัวอย่างที่ 3 จงพิจารณาว่า

g = { (x,y) | y2 = x } เป็นฟังก์ชันหรือไม่

ตัวอย่างที่ 4 จงพิจารณาจากกราฟของ

r = { (x,y) | y = 2 } ว่า r เป็นฟังก์ชันหรือไม่

ตัวอย่างที่ 5 จากกราฟของ

r = { (x,y) | y2 = x } จงพิจารณาว่า r

เป็นฟังก์ชันหรือไม่


สำหรับความสัมพันธ์ที่ไม่เป็นฟังก์ชัน เราสามารถหาสับเซตของความสัมพันธ์นั้นที่เป็นฟังก์ชันได้

เช่น จากความสัมพันธ์ r = { (x,y) | y2 = x }


สามารถหาสับเซตของ r ที่เป็นฟังก์ชันได้ เช่น

r1 = { (x,y) | y = }
r2 = { (x,y) | y = - }

จากรูป ถ้าลากเส้นขนานกับแกน Y ให้ตัดกราฟแล้ว เส้นขนานกับแกน Y จะตัดกราฟของ r1 และ r2

เพียงจุดเดียวเท่านั้น ดังนั้น r1 และ r2 เป็นฟังก์ชัน

ในกรณีที่ความสัมพันธ์เป็นฟังก์ชันเรียกโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์นั้นว่า โดเมนและเรนจ์ของ

ฟังก์ชันตามลำดับ

พิจารณาโดเมนและเรนจ์ของฟังกชันที่ได้จากการจับคู่ระหว่างสมาชิกของเซต A และเซต B ดัง

ตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 6

ตัวอย่างที่ 7

ตัวอย่างที่ 8

 

ตัวอย่างที่ 9

 

    จากตัวอย่างที่ 6, 7, 8 และ 9 จะเห็นว่าโดเมนของฟังก์ชันคือ A และเรนจ์ของฟังก์ชันเป็นสับเซตของ B

ฟังก์ชันในตัวอย่างดังกล่าวนี้เรียกว่า ฟังก์ชันจาก A ไป B ( function from A into B )

โดยทั่วไปเมื่อกล่าวว่า f เป็นฟังก์ชัน จะหมายถึงฟังก์ชันจากสับเซตของ R ไป R

จากตัวอย่างที่ 7 และ 9 จะเห็นว่า โดเมนของฟังก์ชันคือ A และ เรนจ์ของฟังก์ชันคือ B

เรียกฟังก์ชันที่มีสมบัติเช่นนี้ว่า

ฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B ( function from A onto B )

จากตัวอย่างที่ 8 และ 9 จะเห็นว่าสมาชิกแต่ละตัวของ B ที่ถูกจับคู่ จะถูกจับคู่โดยสมาชิกของ A เพียง

ตัวเดียวเท่านั้น เรียกฟังก์ชันที่มีสมบัติเช่นนี้ว่า ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (one-to-one function)

จากบทนิยามของฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งข้างต้นจะได้ว่า f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งก็ต่อเมื่อ

ถ้า (x1,y) f และ (x2,y) f แล้ว x1 = x2

f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไปทั่วถึง B (one-to-one function from A onto B หรือ

one-to-one correspondence) เขียนแทนด้วย หมายถึงฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งที่มี

Df = A และ Rf = B

การพิจารณาว่าฟังก์ชันใดจะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งหรือไม่อาจพิจารณาได้จากกราฟของฟังก์ชันนั้น

โดยลากเส้นขนานกับแกน X

     ถ้าไม่มีเส้นขนานกับแกน X เส้นใด ตัดกราฟของฟังก์ชันที่กำหนดให้มากกว่าหนึ่งจุด ฟังก์ชัน

นั้นจะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

    แต่ถ้ามีเส้นขนานกับแกน X แม้เพียงเส้นเดียว ตัดกราฟมากกว่าหนึ่งจุดแล้วฟังก์ชันนั้นจะ

ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

ตัวอย่างที่ 10 จงพิจารณาจากกราฟว่า ฟังก์ชัน f = { (x,y) | y = }

เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งหรือไม่

ตัวอย่างที่ 11 จงพิจารณาจากฟังก์ชันต่อไปนี้ว่าฟังก์ชันใดเป็นฟังก์ชันหนึ่ง

ต่อหนึ่ง f = { (x,y) | y = x2 } เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งหรือไม่

การพิจารณาว่าฟังก์ชันใดเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งหรือไม่ อาจจะพิจารณา โดยปรับบทนิยามให้สะดวก

ต่อการพิจารณาดังนี้

ตัวอย่างที่ 12
จงตรวจสอบว่าฟังก์ชันที่กำหนดให้ต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งหรือไม่
ก. f(x) = 1/x - 3

ข. g(x) = x2 + 2x + 1

 

ตัวอย่างที่ 13

ฟังก์ชันต่อไปนี้เป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือลดในเซตที่กำหนดให้หรือไม่

ก. f(x) = 2x3+1,[-2,2]

ข. g(x) = 4-3x,R

ค. h(x) = 2-x2,R

 

      ในการพิจารณาฟังก์ชันที่กำหนดให้ว่าเป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือลดในเซตที่กำหนดให้

ถ้าพบว่าไม่ใช่ฟังก์ชันเพิ่ม(หรือลด) จะสรุปว่าเป็นฟังก์ชันลด(หรือเพิ่ม)ไม่ได้

ต้องทำการตรวจสอบว่าเป็นฟังก์ชันลด(หรือเพิ่ม)หรือไม่ ตามบทนิยาม

และที่สำคัญจะต้องไม่เรียกฟังก์ชันที่ไม่ใช่ฟังก์ชันเพิ่ม(หรือลด) ว่าฟังก์ชันไม่เพิ่ม(หรือไม่ลด)

เพราะคณิตศาสตร์มีบทเรียนเรื่องนี้อยู่ด้วย แต่เกรงว่าจะเป็นเรื่องที่ทำให้สับสนจึงไม่ได้เสนอไว้ในบทเรียนนี้

1.ฟังก์ชัน คือ ความสัมพันธ์ที่สมาชิกแต่ละตัวในโดเมนของความสัมพันธ์นั้นไปจับคู่สมาชิกในเรนจ์

เพียงตัวเดียวเท่านั้น

2. ความสัมพันธ์จะไม่เป็นฟังก์ชันก็ต่อเมื่อ มีสมาชิกบางตัวในโดนเมนของความสัมพันธ์นั้นไปจับคู่

สมาชิกในเรนจ์มากกว่าหนึ่งตัว

3. ความสัมพันธ์ที่เป็นฟังก์ชัน จะมีลักษณะการจับคู่ของสมาชิกในโดเมนกับสมาชิกในเรนจ์ 2 แบบดังนี้

ก. one to one
XY
ข. many to one

4. ความสัมพันธ์ที่ไม่เป็นฟังก์ชัน จะมีลักษณะการจับคู่ของสมาชิกในโดเมนกับสมาชิกในเรนจ์

ดังนี้ one to many

5. ค่าของฟังก์ชัน f ที่ x

นิยาม ค่าฟังก์ชัน f ที่ x หมายถึง ค่า y ของฟังก์ชัน f ที่ x เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ f(x)

ตัวอย่าง f(1) หมายถึง ค่า y ของฟังก์ชัน f เมื่อ x=1

        h(-3) หมายถึง ค่า y ของฟังก์ชัน g เมื่อ x=2

หมายเหตุ

1. ถ้าโจทย์กำหนดว่า f(1) =2 ต้องรู้เองว่า ในฟังก์ชัน f ถ้า x=1 จะได้ y=2 หรือ (1,2) ....f

2. ถ้าโจทย์กำหนด f ={(1,a),(2,b),(3,c)} หมายถึง f(1) = a, f(2) = b,f(3) = c

6.จากบทนิยาม กล่าวง่าย ๆ ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง คือฟังก์ชันที่สมาชิกแต่ละตัวในเรนจ์ของฟังก์ชันนั้น

มีสมาชิกในโดเมนเพียงตัวเดียวเท่านั้นมาจับคู่ และฟังก์ชันที่ไม่เป็น 1-1 ก็ต่อเมื่อ มีสมาชิกบางตัวในเรนจ์

ของฟังก์ชันนั้นที่มีสมาชิกในโดเมนมากกว่าหนึ่งตัวมาจับคู่

7. วิธีการตรวจสอบว่าเป็นฟังก์ชัน 1-1 หรือไม่

1. ถ้ากำหนดฟังก์ชันแบบแจกแจงสมาชิก

วิธีการตรวจสอบ "ให้ดูที่สมาชิกตัวหลังของคู่อันดับ"

ถ้าไม่ซ้ำกัน แสดงว่าฟังก์ชันเป็นแบบ1-1

ถ้ามีซ้ำกัน แสดงว่าไม่ใช่ฟังก์ชัน 1-1

ตัวอย่างโจทย์ f(1) = {(1,2),(1,3),(2,2),(3,4)}

จะเห็นว่ามีสมาชิกอยู่ 2 คู่ ที่มีสมาชิกตัวหลังซ้ำกัน สรุปได้ว่าไม่ฟังก์ชันเป็นแบบ 1-1

2. ถ้ากำหนดแบบบอกเงื่อนไข

วิธีตรวจสอบ "ให้สมมติให้ค่า y ที่อยู่ในเรนจ์ของฟังก์ชันนั้นขึ้นมา 1 ค่า แทนลงในเงื่อนไขของฟังก์ชัน

แล้วหาค่า x ออกมา"

ถ้าได้ค่า x ค่าเดียว แสดงว่า ฟังก์ชันนั้นเป็นแบบ 1-1

ถ้าได้ค่า x มากกว่า 1 ค่า แสดงว่าไม่เป็นแบบ 1-1

ตัวอย่างโจทย์

f(x) = x2+2x-2 วิธีทำให้สมมติค่า f(x) = y =1 เมื่อแทนค่าแล้วจะได้ x=-3,1 ซึ่งแสดงว่า

เงื่อนไขนี้ไม่เป็นฟังก์ชันแบบ 1-1

3. ถ้ากำหนดเป็นกราฟ

วิธีการตรวจสอบ "ให้ลากเส้นตรงตั้งฉากกับแกน y ตัดกราหของฟังก์ชันนั้น"

ถ้าตัดกราฟเพียงจุดเดียว แสดงว่าเป็นฟังก์ชัน 1-1

ถ้าตัดกราฟมากกว่า 1 จุด แสดงว่า ไม่เป็นฟังก์ชัน 1-1

8.วิธีการตรวจสอบว่า f เป็งฟังก์ชันจาก A ไป B หรือไม่

1. หา Df

ถ้า Df .A สรุปได้ว่า f ไม่เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B

ถ้า Df =.A ยังสรุปไม่ได้ต้องพิสูจน์ต่อไปว่า

2. หา Rf

ถ้า Rf B สรุปได้ว่า f ไม่เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B

ถ้า Rf B สรุปได้ว่า f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B

9. วิธีการตรวจสอบว่า f เป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B หรือไม

1. หา Df

ถ้าDf A สรุปได้ว่า f ไม่เป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B

ถ้าDf =.A ยังสรุปไม่ได้ต้องพิสูจน์ต่อไปว่า

2. หา Rf

ถ้า Rf B สรุปได้ว่า f ไม่เป็นฟังก์ชัน A ไปทั่วถึง B

ถ้า Rf = B สรุปได้ว่า f ไม่เป็นฟังก์ชัน A ไปทั่วถึง B