1.หาอินเวอร์สของฟังก์ชันที่กำหนดให้

2. บอกความหมายของฟังก์ชันอินเวอร์สได้

3. บอกได้ว่าฟังก์ชันที่กำหนดให้มีฟังก์ชันอินเวอร์สหรือไม่

4. บอกโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชันอินเวอร์ส

5. เขียนกราฟของฟังก์ชันอินเวอร์ส

เนื่องจากฟังก์ชันเป็นความสัมพันธ์ ดังนั้นจึงถือว่าอินเวอร์สของฟังก์ชันเป็นความสัมพันธ์

แต่มีข้อที่น่าสังเกตคืออินเวอร์สของฟังก์ชันไม่จำเป็นต้องเป็นฟังก์ชันเสมอไป

ตัวอย่าง

     f={(1,2),(2,3),(3,4)} เป็นฟังก์ชัน และ

     f-1 ={(2,1),(3,2),(4,3)}เป็นฟังก์ชัน

สำหรับ g ={(1,2),(2,3),(3,2)} เป็นฟังก์ชันแต่ g-1={(2,1),(3,2),(2,3)} ไม่เป็นฟังก์ชัน

ในที่นี้ เรียกอินเวอร์สของฟังก์ชันที่เป็นฟังก์ชันว่า "ฟังก์ชันอินเวอร์ส" ซึ่งฟังก์ชันที่เป็นอินเวอร์สได้นั้น

ต้องเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

ตัวอย่างที่ 1 ฟังก์ชัน f กำหนดโดย f(x) = 3x+1 มีฟังก์ชันอินเวอร์สหรือไม่ ถ้ามีจงหาฟังก์ชันนั้น

ตัวอย่างที่2 กำหนดให้ f={(x,y)|y=x3} จงหา f-1 แล้วเขียนกราฟของ f และ f-1

ตัวอย่างที่ 3 กำหนดให้ f(x) = x2 จงหา f-1และพิจารณาว่า f-1 เป็นฟังก์ชันหรือไม่ เพราะเหตุใด

การหาอินเวอร์สของความสัมพันธ์มี 3 แบบ คือ

1. การหาอินเวอร์สของความสัมพันธ์ที่เขียนแบบแจกแจงสมาชิก

หลักการทำงาน ให้สลับที่ระหว่างสมาชิกตัวหน้ากับตัวหลังของทุกคู่อันดับในความสัมพันธ์นั้น ๆ เช่น

        r = {(1,a),(2,b)}       r-1= {(a,1),(b,2)}  

2. การหาอินเวอร์ส ของความสัมพันธ์ ที่เขียนบอกเงื่อนไข

หลักการทำ มี 2 วิธี

      วิธีที่ 1 สลับที่ x กับ y ในเงื่อนไขเท่านั้น

      วิธีที่2 สลับที่ x กับ y ใน (x,y)

      เช่น r = {(x,y) A x B | y= 2x+1}

     วิธีที่ 1  r-1<= {{(x,y) B x A | x= 2y+1}

     วิธีที่2  r-1= {{(y,x) B x A | y= 2x+1}

3. การหาอินเวอร์สด้วยกราฟ

      หลักการทำงาน เขียนกราฟให้สมมาตรกับกราฟของ r โดยมีเส้นตรง y=x เป็นแกนสมมาตร

     กราฟที่ได้คือ กราฟของ r-1

 

1. ถ้า f เป็นฟังก์ชัน 1-1 แล้ว f-1 เป็นฟังก์ชัน

2. ถ้า f ไม่เป็นฟังก์ชัน 1-1 แล้ว f-1 ไม่เป็นฟังก์ชัน

3. ถ้า f เป็นฟังก์ชันใด ๆ

3.1 เรียก f-1 ว่า เป็นอินเวอร์สของฟังก์ชัน f

3.2 ถ้า f-1 เป็นฟังก์ชันด้วย จะเรียก f-1 อีกชื่อหนึ่งว่า "ฟังก์ชันอินเวอร์สของ f" และเรียก

f ว่าเป็น "ฟังก์ชันที่มีฟังก์ชันอินเวอร์ส"

4. ถ้า f เป็นฟังก์ชัน 1-1 จาก A ไปทั่วถึง B แล้ว

f-1 เป็นฟังก์ชัน 1-1 จาก B ไปทั่วถึง A

5. ถ้า f เป็นฟังก์ชันที่มีฟังก์ชันอินเวอร์จะได้

Df-1= Rf และ Rf-1= Df

6. ถ้า f เป็นฟังก์ชัน 1-1 และ y =f(x) แล้วจะหา f-1 ได้จากสูตรดังต่อไปนี้

y=f(x) ดังนั้น f-1(y) =x